Родился в Риге в еврейской семье. В 13 . лет поступил в мастерскую профессора скульптуры Д. И. Иенсена в Риге, а через год переехал в Петербург, где посещал рисовальную школу Общества поощрения художеств. С 1879 до 1881 гг. он учился в Академии художеств. С 1881 по 1884 исполнил до 30 бюстов деятелей русской литературы и искусства. Лучшими из них считаются бюсты Фонвизина, Достоевского, Гончарова, Салтыкова, Каткова, А. Рубинштейна, Пушкина. В 1884 г. Бернштам уехал сначала в Рим, а затем во Флоренцию. За этот год им были выставлены в Риме скульптуры "Неаполитанский рыбак", "Давид" и "Голова монаха", вызвавшие лестные отзывы итальянской критики.  В 1885 г. он переехал в Париж и вскоре стал известен там благодаря бюстам многих выдающихся людей Франции — Ренана, Флобера, Сарду, Галеви,  Золя и многих других. С 1887 г. Бернштам ежегодно выставляет свои работы в Салоне Елисейских полей. Талант его крепнет, и темы становятся разнообразнее. Он — автор скульптур "У позорного столба", "Первая стрела" и "Палач Иоанна Крестителя". В 1889 г. жюри выставки присудило ему за разные группы и бюсты серебряную медаль. В период с 1890 по 1900 гг. им было создано свыше 200 скульптур знаменитых людей Европы. В 1891 г. французским правительством пожалован скульптору орден Почетного легиона. В 1894 г. он вылепил группу "Христос и неверная жена". В 1896 г. был приглашен в Царское Село делать бюсты царствующих особ. Для парижской выставки 1900 г.  приготовил группу "Петр Великий целует Людовика XV". В 1901 г. ему была заказана СПб. консерваторией статуя Рубинштейна из мрамора, находящаяся при входе в большой зал. В Париже Бернштам заведует художественным отделом музее восковых фигур Гревен. В 1907 году на выставке в Париже он представил гипсовый эскиз скульптуры: Пётр 1 обучается корабельному мастерству в Саардаме. Посетивший выставку российский император Николай 2 приобрёл её, и по гипсовому эскизу в России была отлита бронзовая скульптура. Её установили на Адмиралтейской площади в Санкт-Петербурге. В 1914 году была отлита из бронзы копия этой скульптуры, которую Россия подарила Голландии. Скульптура эта и сейчас стоит в центре города Саардам. А установленная в России во время революционных потрясений была утрачена.  В 1996 году голландцы сделали копию со своей копии и подарили её Санкт-Петербургу. Круг замкнулся и скульптура Бернштама: Царь-плотник заняла своё место в городе на Неве.  
В 1910 г. в России было решено установить в нескольких городах памятники Петру 1 в честь победы в Северной войне. Для создания памятника в Ревеле (Таллинн) был устроен конкурс, в котором приняли участие 6 известных скульпторов. В том числе и эстонцы Амандус Адамсон и Август Вейценберг. Однако,  императору Николаю 2 не понравился ни один из конкурсных проектов. По желанию царя памятник был заказан проживающему в Париже Леопольду Бернштаму. На снимке у памятника Петру 1 в Ревеле среди других важных особ элегантный господин с тросточкой – это и есть автор памятника Леопольд Бернштам. Памятник в Таллинне, к сожалению, не сохранился.
 Ещё одна история, связанная с этим необычным человеком. 10 февраля 1937 г. ЦИК Союза СССР издает постановление «В ознаменование 100-летней годовщины со дня смерти великого русского поэта А.С.Пушкина ЦИК постановляет: переименовать Детское Село в город Пушкин». Напротив Египетских ворот на основной магистрали до въезда в город в 1938 г. устанавливается памятник А.С.Пушкину (скульптор Л.А.Бернштам), до этого стоявший в вестибюле Лицея». Памятник был создан автором в 1911 г. В годы ВОВ особенно пострадала скульптурная часть памятника, на бронзе остались многочисленные пробоины от пуль, так как немцы превратили его в мишень для стрельбы из пистолетов. В 1949 г., к 150-летию со дня рождения поэта, произведена реставрация скульптуры, были зачеканены 142 пробоины на бронзе — следы нацистского варварства..